Question

（2007•潍坊二模）如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=

1

2

AP=2，D为AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使点P在平面ABCD上的射影为点D，如图2．
（I）求证：AP∥平面EFG；
（Ⅱ）求二面角E-FG-D的一个三角函数值．

Answer 1

分析：（I）利用E、F、G分别是PC、PD、BC的中点，可得EF∥CD，EG∥PB，利用面面平行的判定定理，即可得出结论；
（II）建立空间直角坐标系，求出平面DFG的法向量、平面EFG得法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．

解答：（I）证明：由题意，△PCD折起后PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，PD=2．
∵E、F、G分别是PC、PD、BC的中点，
∴EF∥CD，EG∥PB．
又CD∥AB，∴EF∥AB，PB∩AB=B，…（3分）
∴平面EFG∥平面PAB．…（5分）
（II）解：建立空间直角坐标系D-xyz，如图，则D（0，0，0），F（0，0，1），G（1，2，0），E（0，1，1），

DF

=（0，1，0），

DG

=（1，2，0），

EF

=（0，-1，0），

EG

=（1，1，-1）…（6分）
设平面DFG的法向量为

m

=(x1，y1，z1)，
则

m • DG =0 m • DG =0

，∴

z1=0 x 1+2y1=0

，
令y₁=1得

m

=（-2，1，0）．…（8分）
设平面EFG得法向量为

n

=(x2，y2，z2)，
则

n • EF =0 n • EG =0

，∴

-y2=0 x 2+y2-z2=0

，
令z₂=1得

n

=（1，0，1），…（10分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

-2

5 • 2

=

-2

10

=-

10

5

．
设二面角E-FG-D为θ，则θ=＜

m

，

n

＞，
所以，二面角E-FG-D的余弦值为-

10

5

．…（12分）

点评：本题考查面面平行，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．