Question

已知椭圆M：的面积为πab，M包含于平面区域Ω：内，向平面区域Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆内的概率为．
（Ⅰ）试求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若斜率为的直线l与椭圆M交于C、D两点，点为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为k₁，直线PD的斜率为k₂，试问：k₁+k₂是否为定值？请证明你的结论、

Answer 1

解：（Ⅰ）平面区域Ω：是一个矩形区域，如图所示．
依题意及几何概型，可得，
即．
因为，
所以，．
所以，椭圆M的方程为
（Ⅱ）设直线l的方程为：，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
联立直线l'的方程与椭圆方程得：

（1）代入（2）得：
化简得：x²+bx+b²-3=0）
当△＞0时，即，b²-4（b²-3）＞0
也即，|b|＜2时，直线l'与椭圆有两交点，
由韦达定理得：，
所以，，

则k₁+k₂==
所以，k₁+k₂为定值．
分析：（Ⅰ）平面区域Ω：是一个矩形区域，如图所示．
依题意及几何概型，可得，由此可导出椭圆M的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为：，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
联立直线l'的方程与椭圆方程得：，
∴，
然后结合题设条件，由根的判别式和根与系数的关系能够推导出k₁+k₂为定值0．
点评：本题综合考查椭圆的性质及应用和直线 与椭圆的位置关系，解题时要认真审题、仔细解答，避免出现不必要的错误．