Question

7．设整数a，b，c与实数r满足：ar²+br+c=0，ac≠0，证明：$\sqrt{{r}^{2}+{c}^{2}}$是无理数．

Answer 1

分析 由条件得b²-4ac≥0，设r=$\frac{-b+m}{2a}$，其中m²=b²-4ac，m≠±b；假设$\sqrt{{r}^{2}+{c}^{2}}$是有理数q，记s=2aq∈Q，先判断出m是无理数，从而可推出b=0；从而化简可得s²+1=m²+4a²c²+1=（2ac-1）²，故s=0，与s≠0矛盾；从而证明．

解答 证明：由条件得，b²-4ac≥0，设r=$\frac{-b+m}{2a}$，其中m²=b²-4ac，
∵ac≠0，∴m≠±b；
假设$\sqrt{{r}^{2}+{c}^{2}}$是有理数q，记s=2aq∈Q，
则s²=4a²q²=4a²（r²+c²）=（m-b）²+4a²c²＞0，
若m∈Z，则s∈Z，
而4s²=4（m-b）²+（4ac）²=4（m-b）²+（b²-m²）²=（m-b）²（4+（m+b）²），
故4+（m+b）²是平方数，
故m+b=0，与m≠±b相矛盾；
故m∉Z，不妨设m=$\frac{p}{q}$（p与q互质）；
m²=$\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}}$∉Z，而b²-4ac∈Z，
故m²=b²-4ac不成立；故矛盾；
故m是无理数，
又由s²=4a²q²=4a²（r²+c²）=（m-b）²+4a²c²＞0知，
2mb=m²+b²+4a²c²-s²∈Q，
故b=0；
故s²+1=m²+4a²c²+1=（2ac-1）²，
故s=0，故与s≠0矛盾；
故$\sqrt{{r}^{2}+{c}^{2}}$是无理数．

点评 本题考查了反证法的应用，关鍵在于构造s=2aq．