Question

设函数f（x）=log_a（1-a^x），其中a＞1．
（1）求函数f（x）的定义域，值域，并确定f（x）的图象在哪个象限；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）证明y=f（x）的图象关于直线y=x对称；
（4）设方程f（x）+x+4=0有两个实数根x₁，x₂，求x₁+x₂．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,函数的定义域及其求法,函数的值域,函数的图象与图象变化

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数的解析式可得1-a^x＞0，求得的范围，可得函数的定义域．由1-a^x ＜1，求得f（x）的值域．再根据函数的定义域和值域可得函数的图象位于第三象限．
（2）根据a＞1，函数t=1-a^x是（-∞，0）上的减函数，可得f（x）=log_a（1-a^x）的单调性．
（3）求得函数f（x）的反函数还是它本身，可得函数f（x）的图象关于直线y=x对称．
（4）由题意可得log_a（1-a^x）+x+4=0有两个实数根，化简可得 a⁴•a^x-a⁴•a^2x-1=0 有两个实数根．设这两个实数根为x₁、x₂，利用韦达定理可得ax1•ax2=

1

a4

 即 ax1+x2=a^-4，从而求得x₁+x₂ 的值．

解答： 解：（1）由于f（x）=log_a（1-a^x），其中a＞1，
由1-a^x＞0，求得x＜0，故函数的定义域为（-∞，0）．
由1-a^x ＜1，可得f（x）＜log_a1=0，故函数的值域为（-∞，0）．
再根据函数的定义域和值域可得函数的图象位于第三象限．
（2）由于a＞1，函数t=1-a^x是（-∞，0）上的减函数，
故f（x）=log_a（1-a^x）是（-∞，0）上的减函数．
（3）令y=log_a（1-a^x），求得a^x =1-a^y，即x=log_a（1-a^y），
故函数f（x）的反函数为y=log_a（1-a^x）．
再根据函数f（x）的反函数还是它本身，故函数f（x）的图象关于直线y=x对称．
（4）由题意可得log_a（1-a^x）+x+4=0有两个实数根，即1-a^x=a^-x-4 有两个实数根，
即 a⁴•a^x-a⁴•a^2x-1=0 有两个实数根．
设这两个实数根为x₁、x₂，则ax1+ax2=1，ax1•ax2=

1

a4

，∴ax1+x2=a^-4，
∴x₁+x₂ =-4．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，复合函数的定义域和值域，二次函数的性质、韦达定理，属于中档题．