Question

设函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=f（x）•f′（x）+[f（x）]²．
（1）求g（x）的周期和对称中心；
（2）求g（x）在[-

π

4

，

π

4

]上值域．

Answer 1

分析：求出函数的导数．利用三角函数的周期公式和对称中心的性质分别进行求解即可．

解答：解：（1）f'（x）=cosx-sinx，所以g（x）=f（x）•f′（x）+[f（x）]²
=（sinx+cosx）（cosx-sinx）+（cosx+sinx）²=cos2x+sin2x+1=

2

sin?(2x+

π

4

)+1，
所以函数g（x）的周期T=π．
由2x+

π

4

=kπ 得 x=-

π

8

+

kπ

2

，k∈Z
所以g（x）的对称中心为(-

π

8

+

kπ

2

，0)，k∈Z．
（2）因为x∈[-

π

4

，

π

4

]，所以2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，sin?(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]
所以g（x）∈[0，

2

+1]．

点评：本题主要考查导数的基本运算，考查三角函数的图象和性质，考查学生的基本运算能力．