Question

【题目】已知椭圆E：1（a＞0）的中心为原点O，左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点P是直线x上任意一点，点Q在椭圆E上，且满足0．

（1）试求出实数a；

（2）设直线PQ与直线OQ的斜率分别为k1与k2，求积k1k2的值；

（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与椭圆交于不同的两点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足，证明点H恒在一条定直线上．

Answer 1

【答案】（1）a＝3（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）根据椭圆的离心率列方程求出实数a的值；

（2）由（1）可设点P（，t），Q（x0，y0），根据0得出再由点Q在椭圆E上得出，用斜率公式及可求出k1k2的值；

（3）设过P（，1）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），

点H（x，y），代入椭圆方程得出，，再设λ，即，，代入数据整理即可得出点H恒在一条定直线上．

（1）解：设椭圆E的半焦距为c，

由题意可得，解得a＝3；

（2）解：由（1）可知，直线x，点F1（，0）．

设点P（，t），Q（x0，y0），

∵0，∴（，﹣t）（x0，﹣y0）＝0，

得．

∵点Q（x0，y0）在椭圆E上，∴，即．

∴k1k2，

∴k1k2的值是；

（3）证明：设过P（，1）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），

N（x2，y2），点H（x，y），则，，

设λ，则，，

∴（x1，y1﹣1）＝λ（x2，y2﹣1），（x﹣x1，y﹣y1）＝λ（x2﹣x，y2﹣y），

整理得，x，1，y，

从而，y，

由于，，

∴9y36．

∴点H恒在直线．