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    莆田四中高二年级设计了一个实验学科的能力考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过该学科的能力考查．已知6道备选题中考生甲能正确完成其中4道题，另2道题不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都为
    23
    ，且每道题正确完成与否互不影响．
    （Ⅰ）求考生甲能通过该实验学科能力考查的概率；
    （Ⅱ）记所抽取的3道题中，考生甲能正确完成的题数为ξ，写出ξ的概率分布，并求Eξ及Dξ；
    （Ⅲ）试用统计知识分析比较甲、乙考生在该实验学科上的能力水平．
    分析：（Ⅰ）甲生要通过实验考查，就要正确完成所抽取3道题中的2道或3道，由此能求出考生甲通过实验考查的概率．
    （Ⅱ）甲正确完成实验操作的题数分别为ξ，ξ服从超几何分布，利用古典概型公式求出概率，得出分布列．并求Eξ及Dξ；
    （Ⅲ）再求出乙的正确完成的题数η的分布列，计算期望与方差，进行比较．
    解答：解：（Ⅰ）∵考生甲要通过实验考查，就必须正确完成所抽三道题中的2道或3道．
    ∴所求概率为P=
    C
    2
    4
    C
    1
    2
    +
    C
    3
    4
    C
    3
    6
    =
    4
    5

    （Ⅱ）由已知，ξ=0，1、2、3，
    P（ξ=1）=
    C
    1
    4
    C
    2
    2
    C
    3
    6
    =
    1
    5
    ，P（ξ=2）=
    C
    2
    4
    C
    1
    2
    C
    3
    6
    =
    3
    5
    ，P（ξ=3）=
    C
    3
    4
    C
    3
    6
    =
    1
    5
    ．
    所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：

    Eξ=1×
    1
    5
    +2×
    3
    5
    +3×
    1
    5
    =2
    （Ⅲ）乙考生正确完成题数η的概率分布列为：
    x2 0 1 2 3
    P
    1
    27
    2
    9
    4
    9
    8
    27
    Eη=
    0×
    1
    27
    +1×
    2
    9
    +2×
    4
    9
    +3×
    8
    27
    =2

    ∴Eξ=Eη，表明甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同．
    ∵Dξ=(1-2)2×
    1
    5
    +(2-2)2×
    3
    5
    +(3-2)2×
    1
    5
    =
    2
    5

    Dη=(0-2)2×
    1
    27
    +(1-2)2×
    2
    9
    +(2-2)2×
    4
    9
    +(3-2)2×
    8
    27
    =
    2
    3

    ∴Dξ＜Dη，这表明ξ的取值比η的取值相对集中于均值2的周围，
    因此甲生的实际操作能力比乙生强．
    点评：本题考查概率的计算和分布列的求法，考查利用数学期望和方差分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．体现统计思想的价值和意义．
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