Question

（2012•浦东新区一模）已知共有k（k∈N^*）项的数列{a_n}，a₁=2，定义向量

cn

=(an，an+1)、

dn

=(n ， n+1)（n=1，2，3，…，k-1），若|

cn

|=|

dn

|，则满足条件的数列{a_n}的个数为（　　）

• A．2
• B．k
• C．2^k-1
• D．2

  k(k-1)

  2

Answer 1

分析：通过向量的模相等，推出a_n与a_n+1的关系，通过递推关系式，推出 a_n²=a₁²-1²+n²，n为奇数，a_n²=a₂²-2²+n²，n为偶数，然后判断足条件的数列{a_n}的个数．

解答：解：由|

cn

|=|

dn

|，可知，a_n²+a_n+1²=n²+（n+1）²，
即a_n+1²-（n+1）²=-（a_n²-n²），
则 a_n+1²-（n+1）²=a_n-1²-（n-1）²，
推得 a_n²=a₁²-1²+n²，n为奇数
a_n²=a₂²-2²+n²，n为偶数
另外由 c₁=d₁ 可以得出 a₂=1或-1
由上可看出，a_n²有唯一解，
所以a_n有互为相反数的两解（除了已知的a₁）
故a_n个数为 2^k-1．
故选C．

点评：本题考查数列的递推关系式的应用，向量的模的求法，考查计算能力．