Question

（2013•成都一模）在数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，且当n≥2时，a

2 n

=an-1an+1，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（III）求证：

1

a1

+

1

2a2

+

1

3a3

+…+

1

nan

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由给出的数列的递推式a

2 n

=an-1an+1，n∈N^*，可以断定数列是等比数列，再由a₁=2，a₂=4求出等比数列的公比，则通项公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a_n代入b_n=（2n-1）a_n，利用错位相减法可求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）把an=2n代入

1

nan

，然后进行放大，化为

1

n•2n

＜

n+1

n(n-1)2n

=

1

(n-1)2n-1

-

1

n•2n

代入要证的不等式左边，正负相消后可证出结论．

解答：（Ⅰ）解：在数列{a_n}中，∵当n≥2时，a

2 n

=an-1an+1，∴数列{a_n}为等比数列，
又∵a₁=2，a₂=4，∴公比q=

a2

a1

=

4

2

=2．
∴数列{a_n}的通项公式为an=a1qn-1=2×2n-1=2n；
（Ⅱ）解：由b_n=（2n-1）a_n，an=2n，得bn=(2n-1)•2n．
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ  ①．
2Sn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)•2n+(2n-1)•2n+1   ②．
①-②得：-Sn=1×2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)•2n+1
=2+2×

4(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)•2n+1
=2-8（1-2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=-6+2ⁿ⁺²-n•2ⁿ⁺²+2ⁿ⁺¹．
∴Sn=(2n-3)•2n+1+6；
（Ⅲ）证明：∵

1

nan

=

1

n•2n

＜

n+1

n(n-1)2n

=

1

(n-1)2n-1

-

1

n•2n

（n≥2），
∴

1

a1

+

1

2a2

+

1

3a3

+…+

1

nan

＜

1

1×2

+

1

2×4

+(

1

2×22

-

1

3×23

)+(

1

3×23

-

1

4×24

)+…+(

1

(n-1)2n-1

-

1

n•2n

)
=

1

2

+

1

8

+

1

8

-

1

n•2n

＜

1

2

+

1

4

=

3

4

．

点评：本题考查了利用数列的递推式确定等比关系，考查了错位相减法求数列的先n项和，训练了放缩法证明不等式，利用放缩法证不等式是学生学习中的难点．此题属难题．