Question

（本题满分12分）已知二次函数的最小值为－1，且，

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求在上的单调区间与值域.

 

Answer 1

（Ⅰ）a=1, b=-4, c=3；（Ⅱ）[-1，8].

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用待定系数法求二次函数的解析式,根据函数为二次函数，且f(1)=f(3)=0，可以得到函数对称轴x=2，f(x)的最小值为-1，得到顶点坐标，设，不难求解得到a,进而得到函数解析式；

（Ⅱ）由（Ⅰ）判断对称轴与区间的位置关系， 不难得到函数的的单调区间，然后求得函数最值，进而得到函数值域．

试题解析：（Ⅰ） ∵ f(x)为二次函数 f(1)=f(3)=0

∴对称轴为x=2

∵二次函数f(x)的最小值为-1,

∴设二次函数的解析式为： 1分

∵f(1)=0 ∴a-1=0 即 a=1 2分

∴,

故a=1, b=-4, c=3 4分

（Ⅱ）f(x)的单调减区间为：[-1，2]，单调增区间为：[2，4] 8分

∴f(x)在x=2处取得最小值为-1, 9分

而f(x)在x=-1处取得最大值为8 10分

故f(x)在[-1，4]上的的值域为：[-1，8] 12分

考点：二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法．