Question

已知正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n且满足a₁+a₅=

2

7

a₃²，S₇=63
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=2an-1，求数列{

an

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出正项等差数列{a_n}的首项和公差为，由此能求出a_n=2n+1．
（Ⅱ）由bn=2an-1且an=2n+1，得bn=4n，由此利用错位相减法能求出数列{

an

bn

}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设正项等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，a_n＞0．
则

a1+a1+4d= 2 7 (a1+2d)2 7a1+21d=63

，
得

a1=3 d=2

．
∴a_n=2n+1．

（Ⅱ）∵bn=2an-1且an=2n+1，
∴bn=4n，

an

bn

=

2n+1

2n

，

∴Tn= a1 b1 + a2 b2 +…+ an-1 bn-1 + an bn = 2×1+1 41 + 2×2+1 42 +…+ 2(n-1)+1 4n-1 + 2n+1 4n

∴

1

4

Tn=

2×1+1

42

+

2×2+1

43

+…+

2(n-1)+1

4n

+

2n+1

4n+1

，
∴

3

4

Tn=

2×1+1

41

+

2

42

+

2

43

+…+

2

4n

-

2n+1

4n+1

，
∴Tn=

11

9

-(

11

9

+

2n

3

)•

1

4n

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．