Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，给出下列命题：
①A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；
②必存在A，B，C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；
③若tanAtanB＞1，则△ABC一定是钝角三角形；
④若a=40，b=20，B=25°，△ABC必有两解．
其中真命题个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：解三角形,简易逻辑

分析：①由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，由A＞B＞C，可得a＞b＞c，即可得出；
②当C≠

π

2

或A≠

π

2

，B≠

π

2

时，利用两角和差的正切公式可得tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，当A，B，C，有一个为

π

2

时，tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC无意义；
③由tanAtanB＞1，可得tanA＞0，tanB＞0，-tanC=tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanA•tanC

＜0，可得tanC＞0，即可判断出；
④由asinB=40×sin25°＜40×sin30°=20=b即可判断出．

解答： 解：对于①，由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，∵A＞B＞C，∴a＞b＞c，∴sinA＞sinB＞sinC，正确；
对于②，当C≠

π

2

或A≠

π

2

，B≠

π

2

时，-tanC=tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanA•tanC

，则tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，当A，B，C，有一个为

π

2

时，tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC无意义，因此不正确；
对于③，若tanAtanB＞1，则tanA＞0，tanB＞0，-tanC=tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanA•tanC

＜0，∴tanC＞0，因此△ABC一定是锐角三角形，不正确；
对于④，∵asinB=40×sin25°＜40×sin30°=20=b，∴A为锐角或钝角，因此△ABC必有两解，正确．
其中真命题个数为2．
故选：C．

点评：本题考查了正弦定理、两角和差的正切公式、解三角形的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．