Question

如图6所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p＞0)上.

图6

（1）求抛物线E的方程；

（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.

 

Answer 1

【答案】

（1）x²＝4y（2）见解析

【解析】解：（1）依题意，|OB|＝8，∠BOy＝30°.

设B(x，y)，则x＝|OB|sin30°＝4，y＝|OB|cos30°＝12.

因为点B(4，12)在x²＝2py上，所以(4)²＝2p×12，解得p＝2.

故抛物线E的方程为x²＝4y.

（2）由（1）知y＝x²，y′＝x.

设P(x₀，y₀)，则x₀≠0，且l的方程为y－y₀＝x₀(x－x₀)，即y＝x₀x－.

由得

所以Q.

假设以PQ为直径的圆恒过定点M，由图形的对称性知M必在y轴上，设M(0，y₁)，令·＝0对满足y₀＝ (x₀≠0)的x₀，y₀恒成立.

由于＝(x₀，y₀－y₁)，＝.

由·＝0，得－y₀－y₀y₁＋y₁＋＝0.

即(＋y₁－2)＋(1－y₁)y₀＝0.(*)

由于(*)式对满足y₀＝ (x₀≠0)的y₀恒成立，所以

解得y₁＝1.

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).