Question

20．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，以F₁F₂为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为P．若∠PF₁F₂=30°，则该椭圆的离心率为$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义离心率计算公式即可得出．

解答 解：在Rt△PF₁F₂中，∠F₁PF₂=90°，∠PF₁F₂=30°，
∴|PF₂|=c，|PF₁|=$\sqrt{3}$c，
又|PF₂|+|PF₁|=2a=c+$\sqrt{3}$c，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1．
故答案为：$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．