Question

已知圆满足：
①截y轴所得的弦长为2；
②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；
③圆心到直线l：x-2y=0的距离为．
求该圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：依题意，可设所求圆心为P（a，b），半径为r，由①截y轴所得的弦长为2可得r²=a²+1；由②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1可知劣弧所对的圆心角为90°，从而有r=b；再由③圆心到直线l：x-2y=0的距离为可得a-2b=±1，综合可求得a，b的值，从而可得该圆的方程．
解答：解：设所求圆心为P（a，b），半径为r，则圆心到x轴，y轴的距离分别为|b|、|a|，
因圆P截y轴得弦长为2，由勾股定理得r²=a²+1，又圆被x轴分成两段圆弧的弧长的比为3：1，
∴劣弧所对的圆心角为90°，
故r=b，即r²=2b²，
∴2b²-a²=1①，
又∵P（a，b）到直线x-2y=0的距离为，
即=，
即a-2b=±1．②
解①②组成的方程组得：或，于是即r²=2b²=2，
∴所求的圆的方程为（x+1）²+（y+1）²=2或（x-1）²+（y-1）²=2．
点评：本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查方程思想与化归思想的综合运用，考查逻辑思维与运算能力，属于难题．