Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁（-c，0），F₂（c，0）为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF₁|，|F₁F₂|，|MF₂|构成等差数列，点F₂（c，0）到直线l：x=

a2

c

的距离为3．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在以原点为圆心的圆，是该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且

OA

⊥

OB

？若存在，写出该圆的方程，若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，求证：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用等差数列的性质和椭圆的定义和点到直线的距离公式，可得a=2，c=1，进而得到b，即得椭圆方程；
（2）假设满足条件的圆存在，其方程为x²+y²=r²（0＜r＜

3

）．当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理，以及向量垂直的条件得到t²=

12

7

（1+k²），再由直线和圆相切的条件，求出r，再检验，再讨论k不存在的情况，容易得到结论；
（3）k不存在，容易得到定值，若k存在，则将椭圆方程化为极坐标方程，由于OA⊥OB，可设A（ρ₁，θ），B（ρ₂，

π

2

+θ），运用三角函数的诱导公式和平方关系，即可得证．

解答： 解：（1）|MF₁|，|F₁F₂|，|MF₂|构成等差数列，则|MF₁|+|MF₂|=2|F₁F₂|=4c，
由椭圆定义，可得，2a=4c，即a=2c，
又点F₂（c，0）到直线l：x=

a2

c

的距离为3，即有

a2

c

-c=3，解得a=2，c=1，b=

3

，
则椭圆E的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）假设满足条件的圆存在，其方程为x²+y²=r²（0＜r＜

3

）．
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，
由

y=kx+t x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8ktx+4t²-12=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-8kt

3+4k2

，x₁x₂=

4t2-12

3+4k2

，①
∵

OA

⊥

OB

即

OA

•

OB

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t，∴x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）=0，
即（1+k²）x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=0．     ②
将①代入②，得（1+k²）

4t2-12

3+4k2

-

8k2t2

3+4k2

+t²=0，
即t²=

12

7

（1+k²）．
∵直线AB与圆x²+y²=r²相切，
∴r=

|t|

1+k2

=

12 7 (1+k2)

1+k2

=

84

7

∈（0，

3

），
∴存在圆x²+y²=

12

7

满足条件．
当直线AB的斜率不存在时，易得x₁²=x₂²=

12

7

，
代入椭圆的方程，得y₁²=y₂²=

12

7

，满足

OA

⊥

OB

．
综上所述，存在圆心在原点的圆x²+y²=

12

7

满足条件．
（3）证明：由（2）若k不存在，则可设A（

84

7

，

84

7

），B（

84

7

，-

84

7

），
即有

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

7

12

；
若k存在，则将椭圆方程化为极坐标方程，即有3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12，
即有ρ²=

12

3cos2θ+4sin2θ

=

12

3+sin2θ

，
由于OA⊥OB，可设A（ρ₁，θ），B（ρ₂，

π

2

+θ），即有ρ₁²=

12

3+sin2θ

，ρ₂²=

12

3+cos2θ

，
则有

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

3+sin2θ

12

+

3+cos2θ

12

=

7

12

．
故

1

|OA|2

+

1

|OB|2

为定值，且为

7

12

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，涉及直线和圆锥曲线的关系问题，常采用把直线和圆锥曲线联立，利用根与系数的关系求解，考查了计算能力，属高考试卷中的压轴题．