Question

【题目】已知函数f（x）=kx，
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（3）求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ （x＞0），∴ ，令g'（x）＞0，得0＜x＜e，

故函数 的单调递增区间为（0，e）

（2）解：由 ，则问题转化为k大于等于h（x）的最大值．

又 ，令 ．

当x在区间（0，+∞）内变化时，h'（x）、h（x）变化情况如下表：

x	（0， ）		（ ，+∞）
h'（x）	+	0	﹣
h（x）	↗		↘

由表知当 时，函数h（x）有最大值，且最大值为 ，因此k≥

（3）解：由 ≤ ，∴ ＜ （x≥2），

∴ ＜ ．

又∵ ＜ =

1﹣ + + +…+ =1﹣ ＜1，

∴ ＜

【解析】（1）由g'（x）＞0，解得x的范围，就是函数的增区间．（2）问题转化为k大于等于h（x）的最大值，利用导数求得函数h（x）有最大值，且最大值为 ，得到 k≥ ．（3）先判断 ＜ （x≥2），得 ＜ ，
用放缩法证明 ＜1，即得要证的不等式．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．