Question

已知函数，
（Ⅰ）当m=2时，求f（x）的极大值；
（Ⅱ）当m＞0时，讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性．

Answer 1

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当m=2时，f（x）=lnx+-x，
--1=．
当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以当x=2时f（x）取得极大值f（2）=ln2-．
（Ⅱ）f′（x）=--1==．
①若0＜m＜1，则0＜m＜1＜．当0＜x＜m时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当m＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
②若m=1，f′（x）=＜0，f（x）在（0，1）上单调递减；
③若m＞1，则0＜＜1＜m，当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
综上，当0＜m＜1时，f（x）在（0，m）上是减函数，在（m，1）上是增函数；
当m=1时，f（x）在（0，1）上是减函数；
当m＞1时，f（x）在（0，）上是减函数，在（，1）上是增函数．
分析：（Ⅰ）m=2时，求出f′（x），f（x）的单调区间，根据极值定义可求得极值；
（Ⅱ）求出f′（x），然后解含参数的不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，注意讨论m的范围．
点评：本题考查利用导数研究函数单调性、极值以及含参数的不等式的求解，本题渗透了分类讨论思想．