Question

设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B．
求证：

BF

AE

=

BC3

AC3

Answer 1

分析：做出辅助线，根据一个圆周角是直角，得到圆周角所对的弦是直径，根据连接圆心与切点的直线垂直，得到直角，在直角三角形中应用射影定理，得到线段成比例，通过变形得到要征得结论．

解答：解：证连接CD，
∵∠CFD=90°，
∴CD为圆O的直径，
又AB切圆O于D，
∴CD⊥AB，
又在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，
∴AC²=AD•AB，BC²=BD•BA
∴

BD

AD

=

BC2

AC2

．(1)
又因BD²=BC•BF，AD²=AC•AE
∴

BD2

AD2

=

BC•BF

AC•AE

(2)
由（1）与（2）得

BC•BF

AC•AE

=

BC4

AC4

∴

BF

AE

=

BC3

AC3

点评：本题是一个与圆有关的比例线段问题，这是一个平面几何问题，在解题时所应用的方法在立体几何中也会用到，是一个综合题．