Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且椭圆上动点P到左焦点距离的最大值为2+

3

．
（I）求椭圆C的方程；
（II）斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，定点A（0，1），若|AM|=|AN|，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且椭圆上动点P到左焦点距离的最大值为2+

3

，建立方程组，求得几何量，即可求椭圆C的方程；
（II）利用点差法，结合|AM|=|AN|，可得AE⊥MN，从而可得E的坐标，利用E在椭圆内部，建立不等式，即可求直线l的斜率k的取值范围．

解答：解：（I）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且椭圆上动点P到左焦点距离的最大值为2+

3

∴

c a = 3 2 a+c=2+ 3

，∴

c= 3 a=2

，∴b=1
∴椭圆C的方程为C：

x2

4

+y2=1…（4分）
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），其中点E（x₀，y₀），则

x 2 1 +4 y 2 1 =4 x 2 2 +4 y 2 2 =4

两方程相减可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
∴x₀+4y₀k=0①
又AE⊥MN，故

y0-1

x0

=-

1

k

，即x₀+ky₀=k②
由①②知，

x0= 4k 3 y0=- 1 3

，即E(

4k

3

，-

1

3

)，…（8分）
∵E在椭圆内部，∴

4k2

9

+

1

9

＜1
∴k²＜2…（10分）
又k≠0，故k∈(-

2

，0)∪(0，

2

)…（12分）

点评：本题考查椭圆的性质与标准方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．