Question

设点P是曲线C：x²=2py（p＞0）上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为

5

4

．
（1）求曲线C的方程；
（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为

5

4

，可求p的值，从而可得曲线C的方程；
（2）直线PQ的方程与抛物线方程联立，确定Q的坐标，进一步可得N的坐标，从而可得直线MN的斜率，利用导数求斜率，根据切线相等，即可求得k的值．

解答：解：（1）依题意，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为

5

4

．
∴1+

p

2

=

5

4

，解得p=

1

2

．
所以曲线C的方程为x²=y．…（4分）
（2）由题意直线PQ的方程为：y=k（x-1）+1，则点M（1-

1

k

，0）
联立方程组

y=k(x-1)+1 y=x2

，消去y得x²-kx+k-1=0
解得Q（k-1，（k-1）²）．…（6分）
所以得直线QN的方程为y-（k-1）²）=-

1

k

(x-k+1)．
代入曲线x²=y，得x2+

1

k

x-1+

1

k

-(1-k)2=0．
解得N（1-

1

k

-k，(1-

1

k

-k)2）．…（8分）
所以直线MN的斜率k_MN=

(1- 1 k -k)2

1- 1 k -k-1+ 1 k

=-

(1- 1 k -k)2

k

．…（10分）
∵过点N的切线的斜率k′=2(1-

1

k

-k)．
∴由题意有-

(1- 1 k -k)2

k

=2(1-

1

k

-k)．
∴解得k=

-1± 5

2

．
故存在实数k=

-1± 5

2

使命题成立．                                …（12分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与曲线的位置关系，考查直线斜率的求解，正确求斜率是关键．