Question

7．己知$\overrightarrow{a}$=（tanθ，-1），$\overrightarrow{b}$=（1，-2），其中θ为锐角，若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$夹角为90°，则$\frac{1}{2sinθcosθ+co{s}^{2}θ}$=（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． 5
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 先根据（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，求出tanθ=2，再由$\frac{1}{2sinθcosθ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{{tan}^{2}θ+1}{2tanθ+1}$，将tanθ=2代入代数式求出即可．

解答 解：$\overrightarrow{a}$=（tanθ，-1），$\overrightarrow{b}$=（1，-2），
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（tanθ+1，-3）$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（tanθ-1），
若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$夹角为90，
则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，
即（tanθ+1）（tanθ-1）-3=0，
由θ为锐角，解得：tanθ=2
则$\frac{1}{2sinθcosθ+co{s}^{2}θ}$
=$\frac{{sin}^{2}θ{+cos}^{2}θ}{2sinθcosθ{+cos}^{2}θ}$
=$\frac{{tan}^{2}θ+1}{2tanθ+1}$
=1，
故选：A．

点评 本题考察了平面向量数量积的运算，考察三角恒等变换问题，是一道基础题．