Question

在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列和期望．

Answer 1

解：设事件A_i（i=1，2，3，4）表示“该选手能正确回答第i轮问题”，
由已知，，，，
（Ⅰ）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，
则=．
（Ⅱ）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，
则=．
（Ⅲ）X的可能取值为1，2，3，4.，，，，
所以，X的分布列为

．
分析：（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰即第一、二轮均通过，而第三轮未通过，利用独立事件的概率求解即可．
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核分为三类，第一轮被淘汰、第二轮被淘汰、第三轮被淘汰，此三类事件互斥，分别求概率取和即可．
（Ⅲ）X的所有可能取值为1，2，3，4，分别求概率即可．
点评：本题考查相互独立事件的概率和随机事件的分布列、期望问题，考查运用概率知识解决实际问题的能力．