Question

已知二次函数y=g（x）在（-∞，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，最小值为m-1（m≠0），且y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，设f（x）=

g(x)

x

．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，-2）的距离的最小值为

2

，求m的值；
（Ⅱ）若m=1，方程f(|2x-1|)+k(

2

|2x-1|

-3)=0有三个不同的实数解，求实数k的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分析出抛物线y=g（x）顶点坐标为（1，m-1），可设g（x）=a（x-1）²+m-1（a≠0），求导g'（x）=2ax-2a；a=1．从而f(x)=

g(x)

x

=x+

m

x

-2，利用两点距离公式建立关于x的函数，求出最小值的表达式，即可解出m值．
（Ⅱ）经过计算化简，原方程化为|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，看作关于|2^x-1|的二次方程．再利用换元法、数形结合的思想求实数k的范围．

解答：解：（Ⅰ）依题可设g（x）=a（x-1）²+m-1（a≠0），则g'（x）=2a（x-1）=2ax-2a；
又g^′（x）的图象与直线y=2x平行∴2a=2      a=1   
∴g（x）=（x-1）²+m-1=x²-2x+m，f(x)=

g(x)

x

=x+

m

x

-2，…（3分）
设P（x₀，y₀），则|PQ|²=x₀²+（y₀+2）²=x02+(x0+

m

x0

)2
=2

x

2 0

+

m2

x 2 0

+2m≥2

2m2

+2m=2

2

|m|+2m
当且仅当2

x

2 0

=

m2

x 2 0

时，|PQ|²取得最小值，即|PQ|取得最小值

2

当m＞0时，

(2 2 +2)m

=

2

  解得m=

2

-1
当m＜0时，

(-2 2 +2)m

=

2

   解得m=-

2

-1            …（7分）
（Ⅱ）m=1，方程f(|2x-1|)+k(

2

|2x-1|

-3)=0化为|2x-1|+

1+2k

|2x-1|

-(2+3k)=0，
|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，|2^x-1|≠0
令|2^x-1|=t，则方程化为t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0）
∵方程|2x-1|+

1+2k

|2x-1|

-(2+3k)=0有三个不同的实数解，
∴由t=|2^x-1|的图象知，t²-（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t₁、t₂，
且0＜t₁＜1＜t₂或 0＜t₁＜1，t₂=1…（11分）
记?（t）=t²-（2+3k）t+（1+2k）
则

?(0)=1+2k＞0 ?(1)=-k＜0

或  

?(0)=1+2k＞0 ?(1)=-k=0 0＜ 2+3k 2 ＜1

∴k＞0…（15分）

点评：本题考查二次函数图象、性质，函数与导数、方程、数形结合的思想方法，以及换元、计算能力．