Question

设有两个命题：p：关于x的不等式x²+|2x-4|-a≥0对一切x∈R恒成立；q：已知a≠0，a≠±1，函数y=-|a|^x在R上是减函数，若p∧q为假命题，p∨q为真命题．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据绝对值内的式子符号进行分类讨论，求出命题p为真时a的范围，再由指数函数的单调性求出q为真时的对应a的范围，再由p∧q为假，p∨q为真，则p，q一真一假求出a的取值范围．

解答：解：∵不等式x²+|2x-4|-a≥0时x∈R恒成立
∴x²+|2x-4|≥a时x∈R恒成立，
令y=x2+|2x-4|=

x2+2x-4(x≥2) x2-2x+4(x＜2)

，
∴y_min=3，∴a≤3
∴命题p为真：a≤3
函数y=-|a|^x（a≠0，a≠±1）在R上是减函数
∴|a|＞1，∴a＞1或a＜-1
∵p∧q为假，p∨q为真，∴p，q一真一假
∴

a≤3 -1＜a＜1

或

a＞3 a＞1或a＜-1

∴-1＜a＜1或a＞3

点评：本题考查了复合命题的真假性，涉及了绝对值不等式的求法，恒成立问题，指数函数的单调性．