Question

已知{a_n}是正数组成的数列，a₁=1，且点（

an

，a_n+1）（n∈N^*）在函数y=x²+1的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若列数{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+2^a_n，求证：b_n•b_n+2＜b_n+1²．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将点代入到函数解析式中即可；
（Ⅱ）比较代数式大小时，可以用作差的方法．

解答：解：解法一：
（Ⅰ）由已知得a_n+1=a_n+1、即a_n+1-a_n=1，又a₁=1，
所以数列{a_n}是以1为首项，公差为1的等差数列．
故a_n=1+（n-1）×1=n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a_n=n从而b_n+1-b_n=2ⁿ．
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1
=

1-2n

1-2

=2n-1
∵b_n•b_n+2-b_n+1²=（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺²-1）-（2ⁿ⁺¹-1）²
=（2²ⁿ⁺²-2ⁿ-2ⁿ⁺²+1）-（2²ⁿ⁺²-2•2ⁿ⁺¹+1）
=-2ⁿ＜0
∴b_n•b_n+2＜b_n+1²
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）∵b₂=1
b_n•b_n+2-b_n+1²=（b_n+1-2ⁿ）（b_n+1+2ⁿ⁺¹）-b_n+1^{2
=2n+1•b_n+1-2n•b_n+1-2n•2n+1}
=2ⁿ（b_n+1-2ⁿ⁺¹）
=2ⁿ（b_n+2ⁿ-2ⁿ⁺¹）
=2ⁿ（b_n-2ⁿ）
=…
=2ⁿ（b₁-2）
=-2ⁿ＜0
∴b_n•b_n+2＜b_n+1²

点评：高考考点：本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力．
易错提醒：第二问中的比较大小直接做商的话还要说明b_n的正负，而往往很多学生不注意．
备考提示：对于递推数列要学生掌握常见求法，至少线性的要懂得处理．