Question

“a=2”是“?x∈（0，+∞），ax+

1

8x

≥1”的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：a=2时根据基本不等式即可得到ax+

1

8x

≥1，而ax+

1

8x

≥1，所以a≥

1

x

-

1

8x2

，所以只要a大于等于

1

x

-

1

8x2

的最大值即可，设f（x）=

1

x

-

1

8x2

，通过求f′（x），便可求得f（x）的极大值，从而求出最大值为2，所以a≥2，所以由ax+

1

8x

得不到a=2，所以得到“a=2”是“?x∈（0，+∞），ax+

1

8x

≥1”的充分不必要条件．

解答： 解：（1）a=2时，ax+

1

8x

=2x++

1

8x

≥2

2x• 1 8x

=1；
即得到ax+

1

8x

≥1；
∴“a=2”是“?x∈（0，+∞），ax+

1

8x

≥1”的充分条件；
（2）?x∈（0，+∞），ax+

1

8x

≥1时，a≥

1

x

-

1

8x2

；
令f（x）=

1

x

-

1

8x2

，f′（x）=

1-4x

4x3

；
∴x∈(0，

1

4

)时，f′（x）＞0，x∈(

1

4

，+∞)时，f′（x）＜0；
∴f（

1

4

）=2是f（x）的极大值也是最大值；
∴a≥2；
∴“?x∈（0，+∞），ax+

1

8x

≥1”不一定得到a=2；
∴“a=2”不是“?x∈（0，+∞），ax+

1

8x

≥1”的必要条件；
综上得“a=2”是“?x∈（0，+∞），ax+

1

8x

≥1”的充分不必要条件．
故选A．

点评：考查基本不等式：a+b≥2

ab

，a＞0，b＞0，以及函数极值和最值的概念，充分条件，必要条件，充分不必要条件的概念．