Question

已知cos（α-β）cosβ-sin（α-β）sinβ=-

1

3

，

π

2

＜α＜π．
（1）求

cos(α+4π)cos2(α+π)sin2(α+3π)

sin(α-4π)sin(5π+α)cos2(-α-π)

的值；
（2）求cos(2α-

π

4

)的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的求值

分析：由已知逆用两角和的余弦公式得到cosα的值，进一步求出sinα，cos2α，sin2α的值，利用诱导公式化简求值．

解答： 解：由已知cos（α-β）cosβ-sin（α-β）sinβ=-

1

3

，

π

2

＜α＜π．
得到cosα=-

1

3

，sinα=

2 2

3

；
∴（1）

cos(α+4π)cos2(α+π)sin2(α+3π)

sin(α-4π)sin(5π+α)cos2(-α-π)

=

cosαcos2αsin2α

-sinαsinαcos2α

=-cosα=-

1

3

；
（2）由（1）得到sin2α=2sinαcosα=2×

2 2

3

×（-

1

3

）=-

4 2

9

，cos2α=2cos²α-1=-

7

9

，
∴cos(2α-

π

4

)=cos2αcos

π

4

+sin2αsin

π

4

=-

7

9

×

2

2

-

4 2

9

×

2

2

=

-8-7 2

18

．

点评：本题考查了两角和与差的三角函数公式的逆用以及利用诱导公式求三角函数表达式的值，符号是本题的易错之处．