Question

已知命题
①函数f(x)=

1

lgx

在（0，+∞）上是减函数；
②函数f（x）的定义域为R，f（x）在R上可导，f′（x₀）=0是x=x₀为极值点的既不充分也不必要条件；
③函数f（x）=2sinxcos|x|的最小正周期为w=π；
④在平面上，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y-10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线．
其中，正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：根据函数的单调性的定义以及极值点的判定和周期函数的定义等对每一个选支进行逐一判定．

解答：解：①函数f(x)=

1

lgx

在（0，+∞）上lgx有正有负，如-1＜2，而-1＜

1

2

，故不是单调函数，故不正确；
②函数f（x）的定义域为R，f′（x₀）=0是x=x₀为极值点的必要不充分条件，由f'（x₀）=0 推不出极值点，因为有可能是拐点（说明不充分）；f（x）在R上可导，可以说明极值点处一定有f'（x₀）=0（说明必要）．故不正确；
③函数f（x）=2sinxcos|x|的最小正周期为w=π，故正确；
④在平面上，点（2，1）在直线3x+4y-10=0上，距离相等的点的轨迹是过该点且与直线3x+4y-10=0垂直的直线．
故答案为③．

点评：本题综合考查了函数的单调性、周期性，以及函数的极值和抛物线的定义等有关知识，属于中档题．