Question

向量

a

=(cosx，sinx)，

b

=(-cosx，cosx)，函数f(x)=2

a

•

b

+1，x∈R
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）若三角形ABC满足f（A）=-1，求A的大小．

Answer 1

分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简函数f（x）的解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，最后利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，设函数的对称轴为x=m，由正弦函数的图象可知f（m）=±

2

，即正弦函数等于±1，可得这个角等于kπ+

π

2

列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即为函数的对称轴；
（2）由f（A）=-1，将x=A代入（1）化简后的函数解析式，求出正弦函数值，根据A的范围得到这个角的范围，利用特殊角的三角函数值列出关于A的方程，求出方程的解得到A的度数．

解答：解：（1）f(x)=2

a

•

b

+1=2sinxcosx-2cos2x+1=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)，
设其对称轴为x=m，
由正弦函数的图象性质，当f(m)=±

2

，即sin(2m-

π

4

)=±1，
可得：2m-

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，
解得：m=

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z，
所以函数f（x）的对称轴是x=

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z；
（2）由f（A）=-1，得sin(2A-

π

4

)=-

2

2

，
又-

π

4

＜2A-

π

4

＜

7π

4

，
所以2A-

π

4

=

5π

4

⇒A=

3π

4

．

点评：此题考查了平面向量的数量积运算法则，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及正弦函数的对称性，其中利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．