Question

如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为．
分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线，的斜率之和为定值．

Answer 1

(1);(2)详见解析.

试题分析：（1）根据条件“右焦点为，离心率为”得到含有的两个方程，进而求解椭圆方程；（2）通过直线和直线与椭圆连接方程组，得到四点坐标，统一变量，减少字母，然后利用斜率公式证明直线，的斜率之和为定值.在第（2）问的运算上要注意先化简再代入．本题的几何背景是：在如图所示的圆中，因为，且，所以．

试题解析：（1）解：由题意，得，，故，
从而，
所以椭圆的方程为．      ①                             5分
（2）证明：设直线的方程为，   ②
直线的方程为，   ③                                  7分
由①②得，点，的横坐标为，
由①③得，点，的横坐标为，                    9分
记，，，，
则直线，的斜率之和为


                               13分

．                                                          16分