Question

由函数y=f(x)确定数列{a_n},a_n=f(n),若函数y=f(x)的反函数y=f^-1(x)能确定数列{b_n},b_n=f^-1(n),则称数列{b_n}是数列{a_n}的“反数列”.

(1)已知函数f(x)=2的反函数为f^-1(x)=(x≥0),则由函数f(x)=2确定的数列{a_n}的反数列为{b_n},求{b_n}的通项公式;不等式++…+≥1-2a对任意的正整数n恒成立,求实数a的范围;

(2)设函数y=3^x确定的数列为{c_n},{c_n}的反数列为{d_n},{c_n}与{d_n}的公共项组成的数列为{t_n},求数列{t_n}的前n项和S_n.

Answer 1

解:(1)f(x)=2(x≥0)a_n=2(n为正整数),f^-1(x)=(x≥0).

∴数列{a_n}的反数列为{b_n}的通项b_n=(n为正整数).

∵++…+=4［++…+］=4(1),

∴{1}单调递增.∴当n=1时,{1}的最小值为.

∵1-2a≤2,∴a≥.∴使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围是［,+∞).

(2)设公共项t_k=c_p=d_q(k、p、q为正整数),c_n=3ⁿ,d_n=log₃n.

∴3^p=log₃q,则q=.11分有{c_n}{d_n},t_n=3ⁿ.

∴{t_n}的前n项和S_n=(3ⁿ-1).