Question

9．一列数是这样排列的：$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{3}{3}$…其中第2016个分数是$\frac{18}{45}$．

Answer 1

分析 可得：分母为1的有2项；分母为2的有4项；分母为3的有6项；…，分母为n的有2n项；可得：从分母为1到分母为n的所有项的总数为：2+4+…+2n=n²+n．分别令n=44，n=45，即可判断出结论．其中第2016个分数是分母为45的第36个，为$\frac{18}{45}$．

解答 解：一列数是这样排列的：$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{3}{3}$…，
可得：分母为1的有2项；分母为2的有4项；分母为3的有6项；…，分母为n的有2n项；
∴从分母为1到分母为n的所有项的总数为：2+4+…+2n=2×$\frac{n（1+n）}{2}$=n²+n．
令n=44，则44²+44=1980；
令n=45，则45²+45=2070．
∴其中第2016个分数是分母为45的第36个，为$\frac{18}{45}$．
故答案为：$\frac{18}{45}$．

点评 本题考查了数列的通项公式、等差数列的求和公式，考查了观察分析猜想归纳推理能力与计算能力，属于中档题．