Question

10．数列{a_n}满足a₁=$\frac{4}{3}，{a_{n+1}}-1={a_n}（{a_n}-1），n∈{N^*}$且S_n=$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}$，则S_n的整数部分的所有可能值构成的集合是{0，1，2}．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=$\frac{4}{3}$，a_n+1-1=a_n（a_n-1）（n∈N^*）．可得：a_n+1-a_n=（a_n-1）²＞0，可得：数列{a_n}单调递增．可得a₂=$\frac{13}{9}$，a₃=$\frac{133}{81}$，a₄=$\frac{13477}{6561}$，$\frac{1}{{a}_{3}-1}$=$\frac{81}{52}$＞1，$\frac{1}{{a}_{4}-1}$=$\frac{6561}{6916}$＜1．另一方面：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，可得S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=（$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2}-1}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}-1}$-$\frac{1}{{a}_{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$）=3-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，对n=1，2，3，n≥4，分类讨论即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=$\frac{4}{3}$，a_n+1-1=a_n（a_n-1）（n∈N^*）．
可得：a_n+1-a_n=（a_n-1）²＞0，∴a_n+1＞a_n，因此数列{a_n}单调递增．
则a₂-1=$\frac{4}{3}$，可得a₂=$\frac{13}{9}$，同理可得：a₃=$\frac{133}{81}$，a₄=$\frac{13477}{6561}$．$\frac{1}{{a}_{3}-1}$=$\frac{81}{52}$＞1，
$\frac{1}{{a}_{4}-1}$=$\frac{6561}{6916}$＜1，
另一方面：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，
∴S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=（$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2}-1}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}-1}$-$\frac{1}{{a}_{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$）
=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=3-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，
当n=1时，S₁=$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{4}$，其整数部分为0；
当n=2时，S₂=$\frac{3}{4}$+$\frac{9}{13}$=1+$\frac{23}{52}$，其整数部分为1；
当n=3时，S₃=$\frac{3}{4}$+$\frac{9}{13}$+$\frac{81}{133}$=2+$\frac{355}{6561}$，其整数部分为2；
当n≥4时，S_n=2+1-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$∈（2，3），其整数部分为2．
综上可得：S_n的整数部分的所有可能值构成的集合是{0，1，2}．
故答案为：{0，1，2}．

点评 本题考查了数列的单调性、递推关系、“裂项求和”方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．