Question

已知直线l₁经过两点A（3，4），B（0，-5）．
（1）求直线l₁关于直线l₀：y=x对称的直线l₂方程；
（2）直线l₂上是否存在点P，使点P到点F（1，0）的距离等于到直线l：x=-1的距离，如果存在求出P点坐标，如果不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用点斜式求得直线l₁的方程，再利用关于直线y=x对称的直线的特点，求出直线l₂方程，也可理解为求一次函数的反函数；
（2）先利用抛物线的定义，证明点P一定在抛物线y²=4x上，故只需求直线l₂与抛物线的交点即可，通过联立两曲线方程即可解得符合条件的点的坐标

解答：解：（1）直线l₁的斜率为k=

4+5

3-0

=3，
由点斜式得直线l₁的方程为y+5=3x，即3x-y-5=0．
∵点（x，y）关于y=x对称的点为（y，x）
∴将已知直线的x、y互换即得对称直线方程
∴直线l₁关于直线l₀：y=x对称的直线l₂方程为x-3y+5=0．
（2）假设存在符合条件的点P，因为点P到点F（1，0）的距离等于到直线l：x=-1的距离，
∴由抛物线的定义可知，点P在抛物线y²=4x上，
又∵点P在直线l₂上，∴由

x-3y+5=0 y2=4x

，
消去x得，y²-12y+20=0，解得y₁=2，y₂=10，
则x₁=1，x₂=25，
∴存在符合条件的点P，其坐标分别为P（1，2）或（25，10）．

点评：本题主要考查了直线方程，对称直线方程的求法，抛物线的定义，曲线交点坐标的求法，转化化归的思想方法