Question

（本小题满分18分）设数列{}的前项和为，且满足=2-，(=1，2，3，…)

(Ⅰ)求数列{}的通项公式；

(Ⅱ)若数列{}满足=1，且，求数列{}的通项公式；

(Ⅲ),求的前项和

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) an=(n∈N*)； (Ⅱ) bn=3-2()n-； (Ⅲ)  。

【解析】

试题分析：(Ⅰ)∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2

∴a1=1 

∵Sn=2-an即an+Sn=2 ∴an+1+Sn+1=2

两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0

即an+1-an+an+1=0，故有2an+1=an

∵an≠0 ∴(n∈N*)

所以，数列{an}为首项a1=1，公比为的等比数列.an=(n∈N*)

(Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1，2，3，…)

∴bn+1-bn=()n-1

得b2-b1=1

b3-b2=

b4-b3=()2

……

bn-bn-1=()n-2(n=2，3，…)

将这n-1个等式相加，得

bn-b1=1+

又∵b1=1，∴bn=3-2()n-1(n=1，2，3，…)  

(3)

所以

考点：数列通项公式的求法；数列前n项和的求法。

点评：若已知递推公式为的形式求通项公式常用累加法。

注：①若是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

②若是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

③是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

④是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。