Question

3．在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=AD=2A₁B₁，∠BAD=60°．
（1）求证：BB₁⊥AC．
（2）连结AC，BD，设交点O，连结B₁O．设AB=2，D₁D=2，求三棱锥B₁-ABO外接球的体积．

Answer 1

分析 （1）底面平行四边形ABCD中，AB=AD，可得四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，又DD₁⊥平面ABCD，可得DD₁⊥AC，因此AC⊥平面BDD₁，即可证明．
（2）证明三棱锥B₁-ABO的三条侧棱互相垂直，2R=$\sqrt{3+4+1}$=2$\sqrt{2}$，即可求三棱锥B₁-ABO外接球的体积．

解答 （1）证明：底面平行四边形ABCD中，连接AC，BD，设AC∩BD=O．
∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又DD₁⊥平面ABCD，
∴DD₁⊥AC，又BD∩DD₁=D，
∴AC⊥平面BDD₁，
又∵四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱DD₁与BB₁延长后交于一点，
∴BB₁?平面BDD₁，∴AC⊥BB₁．即BB₁⊥AC；
（2）解：∵AB=2A₁B₁，∴BD=2D₁B₁，
∵BD=2OD，
∴OD=D₁B₁，
∵OD∥D₁B₁，
∴四边形B₁D₁DO是平行四边形，
∴D₁D∥B₁O，
∵DD₁⊥平面ABCD，
∴B₁O⊥平面ABCD，
∵AB=AD，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO⊥OB，
∴三棱锥B₁-ABO的三条侧棱互相垂直，
∴2R=$\sqrt{3+4+1}$=2$\sqrt{2}$，
∴V=$\frac{8\sqrt{2}π}{3}$．

点评 本题考查了证明线面垂直、长方体外接球的体积计算公式、平行四边形与菱形的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．