Question

设点A，B是椭圆C：x²+4y²=8上的两点，且|AB|=2，点F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点．
（Ⅰ）若

OF

•

AB

=0，且点A在第一象限，求点A的坐标；
（Ⅱ）求△AOB面积的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

OF

•

AB

=0，知

OF

⊥

AB

，可判断点A、B关于x轴对称，由|AB|=2可得点A纵坐标，代入椭圆方程可得其横坐标；
（Ⅱ）设直线AB的方程为：y=mx+n，由

y=mx+n x2+4y2=8

，得（1+4m²）x²+8mnx+4n²-8=0，利用韦达定理即弦长公式可得m，n的方程①，由点到直线的距离公式可得点P到直线AB的距离d，代入①消掉n可得d关于m的表达式，由此可得其最小值，则△AOB面积S=d，可得其最小值；

解答：解：（Ⅰ）由

OF

•

AB

=0，知

OF

⊥

AB

，
又|AB|=2，点A在第一象限，
所以点A、B关于x轴对称，可设A（x，1）（x＞0），
代入椭圆方程得，x²+4=8，解得x=2，
所以点A的坐标为（2，1）；
（Ⅱ）设直线AB的方程为：y=mx+n，
由

y=mx+n x2+4y2=8

，得（1+4m²）x²+8mnx+4n²-8=0，
△=64m²n²-4（1+4m²）（4n²-8）＞0，即8m²-n²+2＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

8mn

1+4m2

，x1x2=

4n2-8

1+4m2

，
由|AB|=2，则

1+m2

|x1-x2|=2，即（1+m²）[(x1+x2)2-4x1x2]=4，
则（1+m²）[

64m2n2

(1+4m2)2

-4•

4n2-8

1+4m2

]=4，化简得，
16m⁴+32m²-4n²-4m²n²+7=0①，
点P到直线AB的距离d=

|n|

1+m2

，则n²=d²（1+m²），
代入①，并整理可得4d²=

16m4+32m2+7

(1+m2)2

=16-

9

(1+m2)2

≥16-9=7，当m=0时取等号，
所以d≥

7

2

，
所以△AOB面积S=

1

2

|AB|•d=d≥

7

2

，即所求面积的最小值为

7

2

．

点评：本题考查平面向量的数量积、三角形的面积公式，考查学生的运算求解能力、解决问题的能力．