Question

12．如图，在几何体SABCD中，AD⊥平面SCD，BC∥AD，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，∠SDC=120°，F是SA的中点，E在SC上，AE=$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线SE与平面SAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）连接AE，DE，AC，利用勾股定理计算DE得出E为SC的中点，再由中位线定理得EF∥AC，故而EF∥平面ABCD；
（II）以D为原点建立空间直角坐标系，求出平面SAB的法向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{SC}$的坐标，则直线SE与平面SAB所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{SC}$＞|．

解答 证明：（I）连接AE，DE，AC，
∵AD⊥平面SCD，DE?平面SCD，
∴AD⊥DE，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=1，
又∵CD=SD=2，∠SDC=120°，
∴E是SC的中点，又F是SA的中点，
∴EF∥AC，
又EF?平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
（II）在平面SCD内过点D作SD的垂线交SC于M，
以D为原点，以DM为x轴，DS为y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
∴D（0，0，0），S（0，2，0），A（0，0，2），C（$\sqrt{3}$，-1，0），B（$\sqrt{3}$，-1，1），
∴$\overrightarrow{SC}$=（$\sqrt{3}$，-3，0），$\overrightarrow{SA}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{SB}$=（$\sqrt{3}$，-3，1），
设平面SAB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2y+2z=0}\\{\sqrt{3}x-3y+z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，1，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{SC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{SC}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{\frac{10}{3}}×2\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{20}$．
设直线SE与平面SAB所成角为θ，则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{SC}$＞|=$\frac{\sqrt{10}}{20}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，空间角的计算，空间向量的应用，属于中档题．