Question

正四面体ABCD的外接球球心为O，E为BC的中点，则二面A-BO-E的大小为（　　）

• A、

  π

  3

• B、

  π

  2

• C、

  2π

  3

• D、

  5π

  6

Answer 1

分析：E为BC的中点，二面角A-BO-E即为二面角A-BO-C，过A作AF垂直OB于F，连接CF，则∠AFC为二面A-BO-C的平面角，在△AFC中利用余弦定理去求．

解答：解：如图．H为底面正△ABC的中心．设棱长为1，则AH=

3

3

，DH=

1- 1 3

=

6

3

，E为BC的中点，二面角A-BO-E即为二面角A-BO-C
设外接球半径为R，则在△AOH中，
R2=(

6

3

-R)2+(

3

3

)2解得R=OA=OB=OC=

6

4

，过A作AF垂直OB于F，连接CF，∵△AOB≌△COB，∴CF⊥OB，∴∠AFC为二面A-BO-C的平面角

∵S△AOB=

1

2

×AB×

R2- 1 4

=

1

2

×R×AF，∴AF=

R2- 1 4

R

=CF.

2 ( R2- 1 4 R2 )

在AFC中，cos∠AFC=

2AF2-AC2

2AF2

=

2 ( R2- 1 4 R2 )-1

2( R2-  1 4 R2 )

=

R2- 1 2

2R2- 1 2

=-

1

2

∴∠AFC=

2π

3

故选C．

点评：本题考查正四面体的性质、二面角的意义所成的角．解决的关键是将空间角化为平面角，在三角形当中去解决．