Question

3．我国政府对PM2.5采用如下标准：某市环保局从一年365天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．

PM2.5日均值m（微克/立方米）	空气质量等级
m＜35	一级
35≤m≤75	二级
m＞75	超标

（1）求这10天数据的中位数；
（2）从这10天数据中任取4天的数据，记ξ为空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列和期望；
（3）以这10天的数据来估计这一年365天的空气质量情况，并假定每天之间的空气质量相互不影响．记η为这一年中空气质量达到一级的天数，求η的平均值．

Answer 1

分析 （1）10天的中位数为（38+44）÷2；
（2）由于ξ～H（10，4，4），所以$P（ξ=k）=\frac{{C_4^k•C_6^{4-k}}}{{C_{10}^4}}\;（k=0，1，2，3，4）$，即可求ξ的分布列和期望；
（3）一年中每天空气质量达到一级的概率为$\frac{2}{5}$，由$η～B（365，\frac{2}{5}）$，得到$Eη=365×\frac{2}{5}=146$（天）．

解答 解：（1）10天的中位数为（38+44）÷2=41（微克/立方米）…（2分）
（2）由于ξ～H（10，4，4），所以$P（ξ=k）=\frac{{C_4^k•C_6^{4-k}}}{{C_{10}^4}}\;（k=0，1，2，3，4）$，
即得分布列如下：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{15}{210}$	$\frac{80}{210}$	$\frac{90}{210}$	$\frac{24}{210}$	$\frac{1}{210}$

…（7分）
所以$Eξ=\frac{4×4}{10}=1.6$…（9分）
（3）一年中每天空气质量达到一级的概率为$\frac{2}{5}$，由$η～B（365，\frac{2}{5}）$，得到$Eη=365×\frac{2}{5}=146$（天），
所以一年中空气质量达到一级的天数平均为146天…（12分）

点评 本题考查中位数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法和应用，解题时要注意茎叶图的合理运用，充分利用样本估计总体解决．