Question

设f（x）＞0是定义在区间I上的减函数，则下列函数中增函数的个数是y=3-2f（x），y=1+

2

f(x)

y=[f（x）]²，y=1-

f(x)

（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：利用单调性的定义注意验证四个函数是否为区间I上的减函数即可，判断方法，先设定义域上任意两个x₁，x₂，
x₁＜x₂，只需再用作差法比较y₁，y₂的大小即可，比较时，应该借助函数f（x）＞0且是定义在区间I上的减函数．

解答：解：∵f（x）＞0且f（x）在I上是减函数，∴在区间I上任取两个x₁，x₂，当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂）
对于函数y=3-2f（x），y₁-y₂=3-2f（x₁）-3+2f（x₂）=2f（x₂）-2f（x₁）＜0，
∴y=3-2f（x）是增函数，
对于函数y=1+

2

f(x)

，y₁-y₂=1+

2

f(x1)

-1-

2

f(x2)

=

2

f(x1)

-

2

f(x2)

=

2(f(x2)-f(x1) )

f(x1)f(x2)

＜0
∴函数y=1+

2

f(x)

是增函数，
对于函数y=[f（x）]²，y₁-y₂=[f（x₁）]²-[f（x₂）]²=[f（x₁）+f（x₂）][f（x₁）-f（x₂）]
∵f（x）＞0，∴y₁-y₂＞0，∴函数y=[f（x）]²是减函数．
对于函数y=1-

f(x)

，y₁-y₂=1-

f(x1)

-1+

f(x2)

=

f(x2)

-

f(x1)

＜0
∴函数y=1-

f(x)

为I上的增函数，
故选C．

点评：本题主要考查抽象函数单调性的证明，严格按照步骤去做，设定义域上任意两个x₁，x₂，x₁＜x₂，再用作差法比较y₁，y₂的大小即可．