Question

设F₁，F₂是双曲线x2-

y2

2

=1的左右焦点．若P在双曲线上，且

PF1

•

PF2

=1，则|

PF1

+

PF2

|的长为（　　）

• A．2

  2

• B．8
• C．4
• D．2

  3

Answer 1

分析：根据题意，算出双曲线焦点坐标为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）．由

PF1

•

PF2

=1利用数量积的坐标运算公式，算出x²+y²=4．根据O为F₁F₂的中点得

PF1

+

PF2

=2

PO

，再利用向量模的公式加以计算，可得答案．

解答：解：∵双曲线x2-

y2

2

=1中，a²=1，b²=2，
∴c=

a2+b2

=

3

，得双曲线焦点坐标为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）．
设P（x，y），可得

PF1

=（x+

3

，y），

PF2

=（x-

3

，y），
∴

PF1

•

PF2

=（x+

3

）（x-

3

）+y²=（x²+y²）-3，
∵

PF1

•

PF2

=1，∴（x²+y²）-3=1，解得x²+y²=4．
∵O为F₁F₂的中点，∴

PF1

+

PF2

=2

PO

，
可得|

PF1

+

PF2

|=2|

PO

|=2

x2+y2

=4
故选：C

点评：本题给出双曲线上的点P满足的向量等式，求

PF1

+

PF2

的模．着重考查了向量的数量积公式、向量模的公式和双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．