Question

(2007北京，16)如下图，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜边AB=4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B－AO－C是直二面角．动点D在斜边AB上．

(1)求证：平面COD⊥平面AOB；

(2)当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小；

(3)求CD与平面AOB所成角的最大值．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)由题意，CO⊥AO，BO⊥AO， ∴∠BOC是二面角B－AO－C的平面角． 又∵二面角B－AO－C是直二面角，∴CO⊥BO，又∵AO∩BO=0， ∴CO⊥平面AOB， 又CO平面COD， ∴平面COD⊥平面AOB． (2)作DE⊥OB，垂足为E，连结CE(如下图)，则DE∥AO，∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角． 在Rt△COE中，CO=BO=2，OE=BO=1，∴CE=． 又DE=，∴在Rt△CDE中，tan∠CDE=， ∴异面直线AO与CD所成角的大小为． (3)由(1)知，CO⊥平面AOB， ∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角， 且tan∠CDO=．当OD最小时，∠CDO最大，这时，OD⊥AB，垂足为D，，， ∴CD与平面AOB所成角的最大值为．

提示：

剖析：本题考查立体几何的旋转问题和异面直线所成的角，以及空间想象能力和逻辑推理能力．