Question

设数列{}的前n项和为，并且满足，（n∈N*）.

（Ⅰ）求，，；（Ⅱ）猜想{}的通项公式，并加以证明；　

（Ⅲ）设，，且，证明：≤.

Answer 1

解：（Ⅰ）分别令，2，3，得

　　　 ∵，

∴，，　　　 …………………3分

　 （Ⅱ）证法一：

猜想：，　　　　　　 ……………………4分

　　　　　　 由　 　　　　　　　　①

　　　 可知，当≥2时，

②　　　　　 ①－②，得 ，

即.　　 ………………6分

　　　1）当时，

，

∵，

∴；　　　　　 ……………7分

　　　 2）假设当（≥2）时，.

那么当时，

　　　　　　 ，

∵，≥2，

∴，

　　　　　 ∴.　　　　

这就是说，当时也成立，

　　　　 ∴（≥2）.

显然时，也适合.

　　　　 故对于n∈N*，均有.　　　 ……………………9分

　　 证法二：猜想：，　　　　 ……………………………4分

　　 1）当时，成立；　　　 ……………………………5分

　　 2）假设当时，.　　　 …………………………6分

　　　 那么当时，.

∴，　　　　　 ∴

　　　　　 （以下同证法一） ………………9分

（Ⅲ）证法一：要证≤，

只要证≤，…………10分

　　 即≤，…………11分

将代入，得≤，

即要证≤，

即≤1. …………………………12分

∵，，且，

∴≤,

即≤，故≤1成立，

所以原不等式成立. ………………………14分

证法二：∵，，且，

∴≤　　 ①

当且仅当时取“”号. 　………………………11分

∴≤　　 ②

当且仅当时取“”号. 　……………………12分

①+②，

得（）≤，

当且仅当时取“”号.　　 ………………………13分

∴≤.　 ……………………14分　

　 证法三：可先证≤.　 　 ……………………10分

　　　　　 ∵，

　　　　　 ，

≥，……………………………11分

　　　　　 ∴≥，

∴≥，

当且仅当时取等号. ………………12分

　　　　 令，，

即得：≤，

　　　　 当且仅当

即时取等号. ………………………14分