Question

已知三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=-1时取极值，且f（-2）=-4．
（1）求函数f（x）的表达式； 
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）求函数在区间[-2，5]的最值．

Answer 1

分析：（1）三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=-1时取极值，说明方程f′（x）=0的两个根为1和-1，求出a与b，再代入f（-2）=-4，求出c值；
（2）由（1）求出f（x）的解析式，利用导数研究函数的单调性，求出极值；
（3）由（2）已知f（x）的极大值和极小值，把端点值f（-2）和f（5），从而求出最值；

解答：解：（1）∵三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=-1时取极值，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∴

f′(1)=0 f′(-1)=0

可得

3+2a+b=0 3-2a+b=0

解得

a=0 b=-3

；
∴f（x）=x³-3x+c，∵f（-2）=-4，可得（-2）3-3×（-2）+c=0，解得c=2，
∴f（x）=x³-3x+2；
（2）∵f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
若f′（x）＞0即x＞1或x＜-1，f（x）为增函数，
若f′（x）＜0即-1＜x＜1，f（x）为减函数，
f（x）在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值，
f（x）_极大值=f（-1）=-1+3+2=4，f（x）_极小值=f（1）=1-3+2=0；
（3）∵求函数在区间[-2，5]的最值，
已知f（x）_极大值=4，f（x）_极小值=0，
f（-2）=（-2）³-3×（-2）+2=-8+6+2=0；
f（5）=5³-3×5+2=112，
∴f（x）的最大值为112，f（x）的最小值为0；

点评：此题主要考查函数在某点的极值，利用导数研究函数的单调性，以及掌握不等式的解法．这是高考必考的考点；