Question

已知数列a_n，b_n，x_n满足a₁=b₁=2，a_n+1=b_n+1+4b_n，b_n+1=a_n+b_n，xn=

an

bn

．
（1）填空：当n≥2时，x_n

 

1．（填＞，=，＜中一个）
（2）求证：x_n+1与x_n中一个比

5

大，另一个比

5

小，并指出x_n+1与x_n中哪一个更接近于

5

．
（3）若数列{|xn-

5

|}的前n项和为S_n，求证：Sn＜

5

+1．

Answer 1

分析：（1）将xn=

an

bn

中分子a_n进行代换，再与1比较．
（2）考查x_n+1-

5

，x_n-

5

两个式子的积或商的符号为负，即可得证．x_n+1与x_n中哪一个更接近于

5

，可用与

5

的差的绝对值去衡量，绝对值小，表明更接近．
（3）有（1）（2）的基础上，进一步应用{|xn-

5

|}的递推关系，逐项放缩，转化成特殊数列的和，视情况可再继续转化化简，直至得证．

解答：解：（1）xn=

an

bn

=

bn+4bn-1

bn

=1+4

bn-1

bn

＞1（n≥2）
（2）∵a_n+1=b_n+1+4b_n，b_n+1=a_n+b_n，由x₁=

a1

b1

=1，知x₂＞1，x₃＞1，，x_n＞1
∴

an+1

bn+1

=1+

4bn

bn+1

，

bn+1

bn

=

an

bn

+1，即x_n+1=1+

4

xn+1

．
x_n+1-

5

=

(1- 5 )(xn- 5 )

xn+1

，

xn+1- 5

xn- 5

=

1- 5

xn+1

＜0
所以x_n+1与x_n中一个比

5

大，一个比

5

小
又∵

|xn+1- 5 |

|xn- 5 |

=

5 -1

|xn+1|

＜

5 -1

2

＜1∴x_n+1更接近

5

（3）由（2）知，|xn+1-

5

|＜

5 -1

2

|xn-

5

|＜…＜(

5 -1

2

)n|x1-

5

|
∴Sn＜|x1-

5

|[1+

5 -1

2

+(

5 -1

2

)2+…+(

5 -1

2

)n-1]
=(

5

-1)

1-( 5 -1 2 )n

1- 5 -1 2

＜

2( 5 -1)

3- 5

=

5

+1．

点评：本题考查了比较大小的基本方法，等比数列求和，放缩法证明不等式，要求具有一定的分析解决问题的能力，化简计算能力．