Question

一个三角形数表按如下方式构成：第一行依次写上n（n≥4）个数，在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和，得到下一行，依此类推．记数表中第i行的第j个数为f（i，j）．
（1）若数表中第i （1≤i≤n-3）行的数依次成等差数列，
求证：第i+1行的数也依次成等差数列；
（2）已知f（1，j）=4j，求f（i，1）关于i的表达式；
（3）在（2）的条件下，若f（i，1）=（i+1）（a_i-1），b_i=，试求一个函数f（x），使得S_n=b₁g（1）+b₂g（2）+…+b_ng（n）＜，且对于任意的m∈（，），均存在实数λ?，使得当n＞?λ时，都有S_n＞m．

Answer 1

【答案】分析：（1）易知数表中第i+1行的数依次所组成数列的通项为f（i+1，j），再由等差数列定义证明；
（2）f（1，j）=4j由（1）知，第2行的数也依次成等差数列，依此类推可求解；
（3）由f（i，1）=（i+1）（a_i-1），可得a_i进而求得b_i，令g（i）=2ⁱ，求得s_n放缩探求．
解答：解：（1）数表中第i+1行的数依次所组成数列的通项为f（i+1，j），
则由题意可得f（i+1，j+1）-f（i+1，j）
=[f（i，j+1）+f（i，j+2）]-[f（i，j）+f（i，j+1）]
=f（i，j+2）-f（i，j）=2d（其中d为第i行数所组成的数列的公差）（4分）

（2）∵f（1，j）=4j
∴第一行的数依次成等差数列，
由（1）知，第2行的数也依次成等差数列，依此类推，
可知数表中任一行的数（不少于3个）都依次成等差数列．
设第i行的数公差为d_i，则d_i+1=2d_i，则d_i=d₁×2^i-1=4×2^i-1=2ⁱ⁺¹
所以f（i，1）=f（i-1，1）+f（i-1，2）=2f（i-1，1）+2ⁱ
=2[2f（i-2，1）+2^i-1]+2ⁱ=2²f（i-2，1）+2×2ⁱ
=2^i-1f（1，1）+（i-1）×2ⁱ=2^i-1×4+（i-1）×2ⁱ=2ⁱ⁺¹+（i-1）×2ⁱ=（i+1）×2ⁱ（10分）

（3）由f（i，1）=（i+1）（a_i-1），可得
所以==
令g（i）=2ⁱ，则，所以
要使得S_n＞m，即，只要=，
∵，∴，所以只要，
即只要，所以可以令
则当n＞λ时，都有S_n＞m．所以适合题设的一个函数为g（x）=2^x（16分）
点评：本题通过数表考查等差数列的通项公式及定义．