Question

已知实数p、q、r满足r²=p+q，r（r-1）=p•q且0＜p＜1＜q＜2，则实数r的取值范围是

1＜r＜

17 -1

2

．

Answer 1

分析：由题意可得p、q是方程 x²-r² x+（ r²-r）=0 的两根，两根之积 r²-r＞0，①．令f（x）=x²-r² x+（ r²-r），则由二次函数的性质可得 f（1）＜0 ②，f（2）＞0 ③，再把①、②、③的解集取交集，即得所求．

解答：解：∵已知实数p、q、r满足r²=p+q，r（r-1）=p•q，且0＜p＜1＜q＜2，故p、q是方程 x²-r² x+（ r²-r）=0 的两根，
∵0＜p＜1＜q＜2，故由根与系数的关系可得两根之积 r²-r＞0 ①，解得 r＜0，或 r＞1．
令f（x）=x²-r² x+（ r²-r），则由二次函数的性质可得 f（1）=1-r²+r²-r＜0 ②，f（2）=4-2r²+r²-r＞0  ③．
解②可得 r＞1，解③得

-1- 17

2

＜r＜

17 -1

2

．
综上可得，1＜r＜

17 -1

2

，
故答案为 1＜r＜

17 -1

2

．

点评：本题主要考查二次函数的性质应用，一元二次不等式解法，属于基础题．