Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点．
（1）求证：AD⊥DC₁；
（2）如果E是B₁C₁的中点，求证：A₁E∥平面ADC₁．

Answer 1

证明：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴C₁C⊥AD，
又AD⊥C₁D，C₁C∩C₁D=C₁，
∴AD⊥平面BCC₁B₁．
∵DC₁?平面BCC₁B₁．
∴AD⊥DC₁；（6分）
（2）由（1）得∴AD⊥BC，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴D为BC边上的中点，（9分）
连接DE，∵点E是B₁C₁的中点，
∴在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形B₁BDE为平行四边形，
∴B₁BED，又B₁B A₁A，∴ED A₁A，∴四边形A₁ADE为平行四边形．（12分）
∴A₁E∥AD，又A₁E?平面ADC₁，AD?平面ADC₁，
∴A₁E∥平面ADC₁．（14分）
分析：（1）根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AD与平面BCC₁B₁内两相交直线垂直，而C₁C⊥AD，又AD⊥C₁D，C₁C∩C₁D=C₁，满足定理条件；即可证明AD⊥平面BCC₁B₁，
（2）通过（1）AD⊥BC，D为BC边上的中点，连接DE，而点E是B₁C₁的中点，则四边形B₁BDE为平行四边形，可证四边形A₁ADE为平行四边形，从而A₁E∥AD，又A₁E?平面ADC₁，AD?平面ADC₁，根据线面平行的判定定理可知A₁E∥平面ADC₁．
点评：本小题主要考查直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．